Ukuran Pemusatan

Untuk menyelediki segugus data kuantitatif, akan sangat membantu bila kita mendefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data yang penting. Salah satu cara yang dapat ditempuh adalah penggunaan rata-rata, baik terhadap contoh maupun populasi.

Rata-rata merupakan suatu ukuran pusat data bila data itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. Misalnya, bila sebuah mobil menempuh rata-rata 14,5 km/L bensin. Maka nilai ini dapat dipandang sebagai sebuah nilai yang menunjukkan pusat dari beberapa nilai lainnya. Di luar kota, 1 liter bensin dapat menghasilkan kilometer lebih banyak aripada di kota besar dengan lalu lintasnya yang padat. Dalam pengertian demikian, bilangan 14,5 merupakan sebuah ukuran pusat.

Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampaiyang terkecil, disebut ukuran lokasi pusat atau ukuran pemusatan. Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah nilai tengah, median, dan modus. Yang paling penting diantara ketiganya, adalah nilai tengah.

Nilai Tengah Populasi (Mean). Bila segugus data x₁, x₂, ... x_N, tidak harus semuanya berbeda, menyusun populasi terhingga berukuran N, maka nilai tengahnya populasinya adalah

Sering kali kita dapat menyederhanakan perhitungan nilai tengah dengan teknik yang disebut Pengkodean. Misalnya, kadang-kadang kita dapat memudahkan pekerjaan dengan menambahkan atau mengurangkan suatu konstanta pada semua nilai pengamatan, dan baru kemudian menghitung nilai tengahnya. Bagaimana hubungan antara nilai tengah yang baru ini dengan nilai tengah pengamatan asalnya? Jika kita misalkan y_i = x_i + a, maka

Jadi, penambahan (atau pengurangan) suatu konstanta pada semua pengamatan mengubah nilai tengahnya sebesar penambahan (atau pengurangan) itu. Untuk mendapatkan nilai tengah bilangan-bilangan -5, -3, 1, 4, dan 6, misalnya, kita dapat menambahkan 5 pada semua bilangan itu, sehingga diperoleh bilangan-bilangan baru 0, 2, 6, 9, dan 11 yang mempunyai nilai tengah 5.6. dengan demikian nilai tengah bilangan-bilangan semula adalah 5.6 – 5 = 0.6.

Sekarang misalkan bahwa y_i = ax_i, maka

Jadi, jika semua pengamatan digandakan atau dibagi dengan suatu konstanta, data yang baru itu akan mempunyai nilai tengan yang sama dengan kelipatan konstanta dari  nilai tengah semula. Nilai tengah bilangan-bilangan 4, 6, 14 adalah 8, maka setelah dibagi 2, nilai tengah bilangan-bilangan 2, 3, 7 haruslah sama dengan 8/2 = 4.

Ukuran pemusatan yang paling penting berikutnya adalah median. Untik median populasi kita melambangkan dengan μ, sedangkan untuk contoh dengan x.

Median.  Median segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.

Modus. Modus segugus pengamatan adalah nilai yang terjadi paling sering atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.

Modus tidak selalu ada. Hal ini terjadi bila semua pengamatan mempunyai frekuensi terjadi yang sama. Untuk data tertentu, mungkin saja terdapat beberapa nilai dengan frekuensi tertinggi, dan dalam hal demikian kita mempunyai lebih dari satu modus.

Posted in: Semester 3